Ableitungen von Grundfunktionen
In der Technischen Mechanik spielt die Analyse von Funktionsbeziehungen eine tragende Rolle. Um beispielsweise Bewegungen oder Kräfte zu beschreiben, werden häufig mathematische Funktionen verwendet. Die Ableitungen dieser Funktionen ermöglichen es uns, wichtige Eigenschaften wie Geschwindigkeiten, Beschleunigungen oder Kräfte zu berechnen.
Hier werden Ableitungen von Grundfunktionen aufgelistet, die häufig als Ausgangspunkt für weitere Berechnungen dienen.
Ableitungen von Grundfunktionen
| Funktion \(y\) | Ableitung \(\dot{y}\) | |
| Konstante Funktion | \(C =\) konstant | \(0\) |
| Potenzfunktionen | \(t^n\) | \(n \cdot t^{n-1}\) |
| \(\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}\) | \(\dfrac{1}{2} \cdot t^{\frac{1}{2}-1} = \dfrac{1}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\) | |
| Trigonometrische Funktionen | \(\sin(t)\) | \(\cos(t)\) |
| \(\cos(t)\) | \(-\sin(t)\) | |
| \(\tan(t)\) | \(\dfrac{1}{\cos^2(t)}= 1 + \tan^2(t)\) | |
| \(\cot(t)\) | \(-\dfrac{1}{\sin^2(t)}= -1 - \cot^2(t)\) | |
| Arkusfunktionen | \(\sin^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) |
| \(\cos^{-1}(t)\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) | |
| \(\tan^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{1+t^2}\) | |
| \(\cot^{-1}(t)\) | \(-\dfrac{1}{1+t^2}\) | |
| Exponentialfunktionen | \(e^t\) | \(e^t\) |
| \(a^t\) | \(\ln(a) \cdot a^t\) | |
| Logarithmusfunktionen | \(\ln(t)\) | \(\dfrac{1}{t}\) |
| \(\log_a(t)\) | \(\dfrac{1}{\ln(a) \cdot t}\) | |
| Hyperbelfunktionen | \(\sinh(t)\) | \(\cosh(t)\) |
| \(\cosh(t)\) | \(\sinh(t)\) | |
| \(\tanh(t)\) | \(\dfrac{1}{\cosh^2(t)}= 1 - \tanh^2(t)\) | |
| \(\coth(t)\) | \(-\dfrac{1}{\sinh^2(t)}= 1 - \coth^2(t)\) | |
| Areafunktionen | \(\sinh^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\) |
| \(\cosh^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{t^2-1}}\) | |
| \(\tanh^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{1-t^2}\) | |
| \(\coth^{-1}(t)\) | \(\dfrac{1}{1-t^2}\) | |