Integrationsregeln
In der technischen Mechanik spielt die Integration von Funktionen eine wichtige Rolle, da sie oft zur Berechnung von Größen wie Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern
verwendet wird.
Es gibt verschiedene Integrationsregeln, die in der Technik angewendet werden, um bestimmte Integrale zu lösen. Diese Regeln sind hilfreich, um komplexe mathematische Probleme zu
lösen, die in der technischen Mechanik häufig auftreten.
Aus diesem Grund werden hier die verschiedenen Integrationsregeln aufgeführt, die bei der Lösung von bestimmten Integralen in der technischen Mechanik Anwendung finden.
Faktorregel
Ein konstanter Faktor vor einer Funktion bleibt beim Integrieren erhalten. Die Faktorregel erlaubt es uns, eine Konstante vor das Integralzeichen zu ziehen und sie später nach der
Integration wieder einzufügen.
$$ \begin{aligned}
\int\limits_{a}^{b} C \cdot f(x) \ \mathrm{d}x &= C \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$ \begin{alignat}{5}
\int\limits_{a}^{b} 3 \cdot x^2 \ \mathrm{d}x &= 3 \cdot \int\limits_{a}^{b} x^2 \ \mathrm{d}x &&= 3 \cdot \dfrac{1}{3} x^3 \bigg|_{a}^{b} &&= x^3 \bigg|_{a}^{b}\\[10pt]
\int\limits_{a}^{b} 2 \cdot \sin(x) \ \mathrm{d}x &= 2 \cdot \int\limits_{a}^{b} \sin(x)\ \mathrm{d}x &&= 2 \cdot (-)\cos(x) \bigg|_{a}^{b} &&= -2 \cos(x) \bigg|_{a}^{b}
\end{alignat} $$
Summenregel
Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden:
$$ \begin{aligned}
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[ f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)\Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} f_1(x) \ \mathrm{d}x +\int\limits_{a}^{b} f_2(x) \ \mathrm{d}x +\cdots +\int\limits_{a}^{b} f_n(x) \ \mathrm{d}x
\end{aligned} $$
Beispiele:
$$
\definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152}
\definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205}
\definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0}
\begin{alignat}{7}
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[{\color{red}x^4} + {\color{lsblue}x^3} - {\color{lsyellow}x^2}\Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} {\color{red}x^4} \ \mathrm{d}x + \int\limits_{a}^{b} {\color{lsblue}x^3} \ \mathrm{d}x - \int\limits_{a}^{b} {\color{lsyellow}x^2} \ \mathrm{d}x &&= {\color{red}\dfrac{1}{5}x^5}\bigg|_{a}^{b} + {\color{lsblue}\dfrac{1}{4}x^4}\bigg|_{a}^{b} - {\color{lsyellow}\dfrac{1}{3}x^3}\bigg|_{a}^{b}\\[10pt]
\int\limits_{a}^{b} \Bigl[{\color{red}6x^2} + {\color{lsblue}3\sin(x)} \Bigr] \ \mathrm{d}x &= \int\limits_{a}^{b} {\color{red}6x^2} \ \mathrm{d}x + \int\limits_{a}^{b} {\color{lsblue}3\sin(x)} \ \mathrm{d}x &&= {\color{red}2x^3}\bigg|_{a}^{b} - {\color{lsblue}3\cos(x)}\bigg|_{a}^{b}
\end{alignat}
$$