Strahlensätze

Die beiden Strahlensätze helfen uns, Beziehungen von Strecken von zwei oder auch mehr Strahlen, die sich in einem Punkt schneiden und allesamt von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, auszudrücken.

Klassische Beispiele sind in der Technischen Mechanik dreieckförmige Streckenlasten, die für die Schnittgrößenbestimmung beliebig geschnitten werden müssen oder auch konische oder kegelförmige Körper, deren Durchmesser in der Festigkeitslehre häufig in Abhängigkeit der Koordinate \(x\) bestimmt werden müssen.

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1. Strahlensatz

Werden zwei Strahlen, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt \(S\) haben, von Parallelen geschnitten, die nicht durch den Scheitelpunkt \(S\) gehen, so sind die Abschnitte auf dem einen Strahl verhältnisgleich mit den zugehörigen Abschnitten auf dem anderen Strahl.

Diese Abbildung 1 zeigt grafisch die Abschnitte, die beim 1. Strahlensatz im Verhältnis stehen.
Abb. 1: Erster Strahlensatz
$$ \definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152} \definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205} \definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0} \begin{aligned} \dfrac{\color{red}\overline{SA}}{\color{lsyellow}\overline{SA~'}}=\dfrac{\color{aqua}\overline{SB}}{\color{lsgreen}\overline{SB~'}}\quad \mathrm{bzw.} \quad \dfrac{\color{red}\overline{SA}}{\color{lsblue}\overline{AA~'}}=\dfrac{\color{aqua}\overline{SB}}{\color{fuchsia}\overline{BB~'}}\quad \mathrm{bzw.} \quad \dfrac{\color{lsblue}\overline{AA~'}}{\color{lsyellow}\overline{SA~'}}=\dfrac{\color{fuchsia}\overline{BB~'}}{\color{lsgreen}\overline{SB~'}} \end{aligned} $$

2. Strahlensatz

Werden zwei Strahlen, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt \(S\) haben, von Parallelen geschnitten, die nicht durch den Scheitelpunkt \(S\) gehen, so sind die Abschnitte auf den Parallelen verhältnisgleich mit den zugehörigen Abschnitten auf den Strahlen.

Diese Abbildung 2 zeigt grafisch die Abschnitte, die beim 2. Strahlensatz im Verhältnis stehen.
Abb. 2: Zweiter Strahlensatz
$$ \definecolor{lsgreen}{RGB}{79,175,152} \definecolor{lsblue}{RGB}{16,160,205} \definecolor{lsyellow}{RGB}{255,182,0} \begin{aligned} \dfrac{\color{lsblue}\overline{AB}}{\color{fuchsia}\overline{A~'B~'}}=\dfrac{\color{red}\overline{SA}}{\color{lsyellow}\overline{SA~'}}=\dfrac{\color{aqua}\overline{SB}}{\color{lsgreen}\overline{SB~'}} \end{aligned} $$